Как проходила «Математика у моря»: кое-что о занятиях

Два совместных разнобоя для 5-6 классов. Дети разбились на пары (решающим при разбиении был принцип приятельства) и в течение полутора часов решали 8 задач. Решение предполагалось предъявлять в письменном виде, но, честно говоря, в первом разнобое я не вникал в детали обоснований. У большинства задач глубоких логический обоснований и не требовалось, поскольку решение сводилось к вычислениям и некоторым чертежам. Но даже в задачах, где решение требовало некоторого текстового описания, я не вникал особо в его детали, а оценивал только верность центральной идеи. Думаю, что это вполне целесообразно для данного жанра. Самым же интересным было следующее. Была явная пара-фаворит (кстати, как раз из 5го класса), и все это понимали. Так вот, на каждом из разнобоёв их догоняли, причём в разных разнобоях разные пары. Ситуация соревнования позволила мобилизоваться и показать уровень, который этим детям на обычных занятиях редко удавалась показывать. Причём, на мой взгляд, желание выиграть играло решающую роль играло решающую роль только на первом этапе, а дальше интеллектуальное напряжение поддерживалось сами процессом решения. Для этого и нужны интеллектуальные соревнования: стремление победить рождает максимальное напряжение интеллектуальных сил и отходит на второй план.
Занятие с 5-м классом на тему транзитивность с замечательной репликой ребёнка в конце занятия «транзитивность бывает у делимости, в неравенствах, а ещё где?»
Собственно, не проведённое, а только придуманное занятие с 7-8-м классами на тему «Геометрические неравенства и задачи на разрезания». Задачи на разрезания – тема интересная для всех детей. Ну, разве что, кроме детей с очень специфическим формально-логическим складом мышления. Такие бывают, но их, по моим наблюдениям, немного. Как в процессе решения таких задач обучать конкретным геометрическим знаниям? До 6-го класса включительно никак не надо. Далее можно обучать на таких задачах свободному владению понятием площади. А ещё вот о чём подумалось. Берём задачу на разрезание. Угадываем как резать, а для обоснования того, что всё получилось хорошо, используем, например, неравенство треугольника. Замечательную задачку такого типа придумал мой приятель А.В. Шаповалов «Докажите, что любой треугольник можно разрезать на два треугольника так, что наибольшие стороны этих треугольников будут равны». Есть ли ещё такие задачки? Наверняка, есть. Надо бы поискать и сделать полномасштабное занятие на эту тему.

А день получился неплохой

Честно говоря, на концерт Гергиева не собирался. Программу не объявляли до дня приезда, а я этого не люблю. Типа "Я такой великий, что вопрос о посещении моего концерта обсуждаться не должен. Что бы я ни играл" В общем, жена Цезаря, а не маэстро. Но обстоятельства сложились иначе. В 17-00 было занятие. Дети не олимпиадные, но очень хорошие, а тема "Неравенства в текстовых задачах". Честно и весьма продуктивно отработали полтора часа. Я и говорю "Ну всё, господа, заканчиваем. Мы сегодня хорошо поработали". А мне в ответ "Вы торопитесь?". Отвечаю "Ладно, давайте ещё немного". Но идти всё-таки надо, и я через десять минут виновато "Ребята, правда тороплюсь". А мне в ответ "Ладно, Вы идите, а мы ещё останемся и порешаем. Задачки хорошие".
Вышел. Настроение замечательное. Прохожу мимо концертного зала и думаю "Ладно уж, так и быть: поделюсь хорошим настроением с маэстро и музыкальной общественностью города". На дверях, наконец, программа: Дебюсси (не мой, в принципе, композитор), 3-й концерт Рахманинова (ужас, до чего не мой, и обычно вызывает просто раздражение) с Березовским (отношусь вполне равнодушно) и 5-я симфония Прокофьева (а вот он как раз совсем мой )) ) Купил билет, залез на балкон. Дебюсси с Рахманиновым сыграли они очень качественно, и я с удовольствием послушал. А Прокофьев вышел просто великолепно. Я, конечно, на этом оркестре не впервые, но такого удовольствия, кажется, не получал никогда. И ещё я подумал, что с радостью отдал бы за 5ю Прокофьева все симфонии Шостаковича. Уж столько в Сергее Сергеевиче свободы, и так он ей заражает! А зачем ещё нужна музыка?

Очередное обострение любви к теоремам

завтра ковыряем теорему о 9 точках на кубической кривой с теоремой Паскаля (и иже с ней) в качестве следствия. Обычно это впечатляет. В качестве упражнения весьма ценимый мной номер 347 из задачника Васильева и Егорова (автор задачи - Юрий Валентинович Нестеренко). Собственно, к девяти точкам это отношения не имеет, но мимо пройти не могу )) Ещё будет задачечка про точку, которая бегает внутри расчерченного квадратика, меняя координаты по кубическому закону в зависимости от времени. А доказать надо, что не слишком извилисто бегает. Впрочем, тут особой глубины нет, обычное упражнение.

Камешки от теорем

Бросая камешки в воду, нужно смотреть известно куда. Теоремы мы учим не только для того, чтобы их знать и даже не только для того, чтобы их применять. Доказательство хорошей теоремы содержит хорошие идеи, которые, как правило, работают во многих других ситуациях. Если доказательство теоремы прочувствовано хорошо, то и эти ситуации видятся лучше. Сегодня http://perspektiva-omsk.ru/content/vebinar-«kvadratichnye-irratsionalnosti-tselye-chasti-i-rekurrentnye-sootnosheniya» решаем задачи, используя идеи, наработанные в ходе знакомства с уравнениями Пелля. Заходите в гости.

Про суммы квадратов

Из-за вынужденного перерыва, связанного с олимпиадой Эйлера и факультетскими днями несколько лекций пропало. Возобновляем. Сегодня постараемся полюбить известное доказательство Дона Цагира теоремы о представимости простого числа в виде суммы двух квадратов. Как сказал про это доказательство один мой коллега "Такое доказательство можно придумать, но сначала надо поверить в его возможность. Это и есть самое сложное". Цагир мог бы рассказать, как он в это поверил )) Может, откликнется кто-то из общих с ним знакомых )) Наверное, такие в природе есть
Кроме того, обсудим, как использованные в доказательстве соображения (построение инволютивного отображения, размножение множества решений с помощью линейных форм и т.д.), работают при решении диофантовых уравнений. Это, в первую очередь, для школьников-олимпиадников.

И снова к морю за математикой!

Мои коллеги и я делятся творческими планами по работе Летнего математического лагеря в Болгарии. Вроде, мы рассказали про себя правдиво и довольно точно ))
Преподаватели Летней школы «Математика у моря» рассказывают о себе и делятся планами

Александр Васильевич Шаповалов (г. Стокгольм), кандидат физико-математических наук, автор книг для школьников «Принцип узких мест», «Турнир городов: мира математики в задачах», «Как построить пример», автор сайта ashap.info
Мне довелось преподавать на многих выездных школах, но такого удовольствия, как на этой, я нигде не получал. Здесь сошлось то, что мне больше всего нравится в жизни: умные, мотивированные и вдохновленные ученики, тёплое море в двух шагах от коттеджа, сочетание отличного отдыха и приятной работы, математика, вписанная в контекст других дисциплин.
По разным причинам с этого года у меня стало меньше возможностей ездить на математические школы и курсы (в частности, я закончил работу в Кировской ЛМШ). А.С. Штерн тоже в течение года тоже преподает только недалеко от Омска. Поэтому школа "Математика у моря" остается одним из немногих мест, где школьникам из самых разных мест России (а, быть может, из ближнего и дальнего зарубежья) можно будет позаниматься математикой под нашим с ним руководством. Приглашаем детей от 10 до 16 лет. Родители, которые не захотят отпустить детей одних, приглашаются тоже - уютных и недорогих коттеджей хватит на всех!
Напомню наше с Александром Савельевичем кредо: мы учим любого, кому интересно; мы прививаем долгосрочную любовь к математике; мы не ставим целью подготовить олимпиадных чемпионов, они у нас как-то получаются сами собой.

Сергей Викторович Шмаков (г. Омск), член жюри регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников по информатике и математике, автор сайта olymp.omich.net
Я работаю программистом, но кроме этого тесно связан с обучением школьников. Долгое время работал учителем информатики в гимназии 117 г. Омска. Вместе со своими друзьями основал Школу программиста, где любой желающий может узнать о программировании то, чего не рассказывают в школе, и научиться программировать на профессиональном уровне. Кроме того, я сам много ездил ребёнком в разные летние школы, а потом ещё дольше ездил преподавателем.
Чтобы «занятия у моря» проходили эффективно, ученики должны иметь свои ноутбуки или нетбуки, на которых они будут выполнять практические задания. Идея заключается в том, чтобы занятия разнообразить чем-то прикладным. Чтобы вы сами что-то сделали своими руками и почувствовали, как оно работает.
Обычно в выездных школах я преподаю не так, как это принято делать на занятиях регулярного кружка, работающего в течение учебного года. Дело в том, что когда смотришь на предмет с разных сторон, то начинаешь гораздо лучше понимать, как он устроен. Вот и мы попробуем посмотреть на программирование под таким углом, который не будет совпадать с тем, под которым оно вам преподносилось в школе и на кружках.
Те, кто до сих пор программированием не занимался, получат совершенно новый опыт. Он не заменит изучение основ программирования в регулярном кружке, но позволит в ходе будущих регулярных занятий легче усваивать материал и глубже понимать его суть.

Елена Андреевна Чач (г. Москва), кандидат исторических наук, профессиональный экскурсовод и тележурналист.
Я живу в Москве, до этого долгое время училась и работала в Санкт-Петербурге, где окончила аспирантуру исторического факультета СПбГУ (кафедра истории культуры), водила по городу детские и взрослые экскурсии, работала в музее. Проживая в «северной столице», я пришла на Православный телеканал «Союз» как корреспондент. Сейчас, уже в Москве, работаю на «Союзе» как автор цикла исторических передач «Хранители памяти» и редактор сайта телеканала. Детские экскурсии по Санкт-Петербургу, а теперь – и занятия в Болгарской летней математической школе, стали своеобразным продолжением моей работы в омских зимних и летних гуманитарно-математических школах, куда начала ездить вожатой и преподавателем истории еще в студенчестве.
Если перечислять дипломы и «регалии» – выпускница исторического факультета ОмГУ и математического факультета РГПУ им. А.И. Герцена (до этого – студентка матфака ОмГУ), кандидат исторических наук, член Союза российских писателей… Всё остальное к делу совсем не относится.
Уже восемь лет, параллельно с деятельностью в гуманитарной сфере, я преподаю математику. Но в Болгарской математической школе это делают такие асы, что мне самой можно было бы у них поучиться. Поэтому я буду заниматься с детьми тем, что связано с моей основной профессией и просто горячо любимо – историей, историей культуры, теорией и практикой киноискусства. Это будут экскурсии, беседы об истории и культуре Болгарии, беседы о кино и претворение теории в практику. Если с историей и культурой Болгарии всё понятно, то на кино стоит немного остановиться. Побеседуем о том, как зародился кинематограф, о его отдельных жанрах, стилях и направлениях. Также разберёмся, как создаются образы в кино и какими средствами достигается нужное восприятие. Часть занятий будет посвящена основам монтажа. Ребята сами попробуют снимать и монтировать. И, наконец, все вместе мы попробуем написать сценарий и снять собственный маленький фильм!

Александр Савельевич Штерн (г. Омск), кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского, председатель Региональной методической комиссии Всероссийской олимпиады школьников по математике по Омской области, руководитель образовательных программ АНО ОД «Перспектива», руководитель Летней школы «Математика у моря».
Мне трудно что-либо добавить к сказанному моими друзьями и коллегами. Как и Александр Васильевич, я ценю каждую математическую мысль, высказанную учеником, даже, если она не очень сложна и не выглядит залогом его будущих олимпиадных побед. Как и Сергей Викторович, считаю, что эффективнее всего мы учимся, когда мыслим самостоятельно. Известная фраза Германа Гессе «Истина должна быть пережита, а не преподана» относится к математическому познанию не менее, чем к любому другому. Как и Елена Андреевна, считаю, что занятия математикой должны сопровождаться погружением ученика в интеллектуально насыщенную среду и ростом его культурного уровня. Как у любого преподавателя, у меня, конечно, есть свои предпочтения. Я очень люблю заниматься со школьником доступными им аспектами теории чисел. С более старшими ребятами люблю находить сложные и глубокие вещи сразу же за страницами школьного курса математики, не отходя от него очень далеко. Вообще же, при выборе тематики занятия я стараюсь идти от ученика, его интересов и внутренних потребностей. Для этого ученика нужно видеть и понимать, что составляет и главную трудность работы педагога, и главную его радость. Своего сайта у меня пока нет, но есть ЖЖ http://dreameranalyst.livejournal.com/, в котором я часто пишу о математике и её преподавании. Меня несложно найти в социальных сетях «Facebook» и «В контакте». Кстати, последний пост моего ЖЖ содержит сообщение о придуманном мной семинаре для школьников и старшеклассников. Пост называется «Как любить теорему?» Примерно этим же мы будем заниматься в нашем лагере: учиться любить математику!

Как любить теоремы?

Пришла в голову вот такая идея, благо, родной деканат часы выделил. Очень хотелось бы, чтобы сюда заглядывали не только студенты, но также школьники и учителя.

Спецсеминар для студентов 1-4 курсов и всех желающих
(в особенности тем, кто испытывает интерес к математическим олимпиадам и иным формам работы со школьниками)

Как учить и как рассказывать интересные теоремы?
Предполагается изучение красивых теорем и формул, для понимания которых не требуется глубокого изучения больших математических теорий. Как правило, все эти теоремы доступны хорошему школьнику. Как изучать теорему, чтобы её доказательство запомнилось надолго, а не только до очередного зачёта? Как использовать понимание теоремы и её доказательства для решения задач? Как и при каких обстоятельствах была придумана эта теорема? Всё это и будем обсуждать на семинаре.
Руководитель семинара – dreameranalyst, но предполагается, что любой преподаватель или студент сможет рассказать в рамках семинара свою любимую теорему.
На первой встрече запланировано:
обсуждение организационных вопросов;
обсуждение формулы Пика, несложного факта, вполне доступного восьмикласснику, но с отчётливым ароматом теории меры. Разговор в одно касание (близкий к трёпу) про её аналоги и обобщения.

Осенние заметки о летних впечатлениях: как мы слушали "Иоланту"

Ещё один эпизод из жизни нашей летней школы. Взращивание культурного уровня шло невероятными темпами. (Нет, нет не в ущерб математике, не подумайте :-)) Делается это так. Между полдником и ужином объявляется "клубное время". Средняя продолжительность клуба час, так что за клубное время ребёнок запросто может и на два клуба сходить. Далеко не все клубы подчёркнуто интеллектуальные. Можно побегать, попрыгать, ручками что-то покрутить и т.д. Но в этом году интеллектуализм зашкаливал! О чём только не говорили: неизвестные войны (например, картофельная), принципы рационального мышления (руководитель дважды призёр финала Всероса по математике, так что с рациональным мышлением у него нормально), латынь, классика советского кино, шедевры античной литературы и даже (насколько я понял, ибо сам не присутствовал) популярное изложение для малышей статьи Аверинцева о том, как в европейской культуре разрушался античный идеал. Два слова о собственном опыте проведения оперного клуба.
Эта затея тянется с прошлого года. Один весьма уважаемый сотрудник нашего лагеря (в этом году его не было, увы), насидевшись в Метрополитен-опера, решил выплеснуть свои впечатления на детские головы. В качестве орудия было выбрано "Золото Рейна". При этом был выдвинут такой аргумент: детям будет интересна опера с нетривиальным сюжетом и глубокими мыслями, а не очередная любовная клюква. И в этом безусловно есть доля истины. Музыкальная подготовка у детей разная, за час-полтора оперу не послушаешь и т.д. Клуб - это жанр, в значительной степени разговорный. На слушание имеет смысл отводить, максимум, половину времени. И тут, конечно, "Кольцо" очень подходит - поговорить есть о чём. Но утончённый вагнеровский язык малодоступен школьнику, даже с учётом того, что "Золото" проще других вагнеровских опер. Не знаю, насколько та беседа стимулировала у детей интерес к прослушиванию опер.
Нужно некоторое равновесие между идеологичностью и доступностью музыкального языка. И тут "Иоланта" - совершенно идеальный объект. Прочитали текст, послушали, и опять почитали текст арии Ибн Хакиа о двойной природе элементов мироздания - идейный центр оперы. Послушали арию Роберта и поговорили о том, как контрастны чувства Роберта и Водемона. И, конечно, сцену с розами и дуэт. И разговор о том, как духовное зрение может заменить чувственное. Дети очень хорошо слушали, несмотря на абсолютно разный уровень подготовки. Почти никто из присутствующих раньше "Иоланты" не слышал, хотя некоторые говорили, что слушали "Пиковую даму".
В конце я всё-таки не удержался и рассказал историю смерти Чайковского. Пропаганда суицида? По-моему, совсем наоборот.
Вот такая история. Смотрели и слушали, конечно, старый фильм Горрикера. Кстати, он ещё, слава Богу, в добром здравии https://ru.wikipedia.org/wiki/Гориккер,_Владимир_Михайлович И мне подумалось, что перелицованный советский текст, из которого тщательно убраны все упоминания о Боге, не так уж плох. По крайней мере, к серьёзным смысловым искажениям он не привёл, а на музыку иногда ложится даже лучше. Интересно, а кто коректировщик? Над "Жизнью за царя" Городецкий, вроде, потрудился, а здесь кто? Было бы любопытно узнать.

Осенние заметки о летних впечатлениях от Недостоевского: про математический бой

А вот ещё одно очень сильное впечатление: математический бой между группами 7 и 8 класса в нашей летней школе. Семиклассники выиграли 50:31. Нет, ничего уж такого особенного в этом бою не было. Задачки были не Бог весть, какие трудные, да и выиграли младшие не каким-то особенным полётом мысли, а, скорее, культурой. Свободным владением биномиальными коэффициентами, умением анализировать возможные разложения алгебраического разложения на простые множители и т.д Но команда младших была ну, как натянутая струна. Каждый, кто проводил и судил матбои, понимает, о чём я говорю. Матбой тем и хорош, что позволяет, как никакое другое занятие, вот так вытянуть школьника в струну, что, собственно, и составляет главную цель преподавателя. Судить такой бой бывает очень трудно. То есть, это очень увлекательное и зажигающее занятие, но потом чувствуешь сильную усталость. Как заметил мне некогда папа одного из участников боя, который я судил. "Вы, как будто ящики таскали". Себя ведь тоже в струну вытягиваешь. Но разе это не есть вторая главная цель преподавателя? Или даже первая...

Кто же изобрёл математическое доказательство?

Начал читать свой курс и сразу уже увяз в хитрых вопросах. Итак, родоначальником математического доказательства считается Фалес Милетский. На каком основании? А вот на каком. Великий Прокл Диадох сочинил "Комментарий к первой книге «Начал» Евклида". Случилось это в 5 веке нашей эры, т.е. примерно через 1200 лет после Фалеса. В этом комментарии утверждается, что за 900 лет до Прокла (соответственно, через 250-300 лет после Фалеса) ученик Аристотеля Евдем утверждает, что Фалес ДОКАЗАЛ следующие факты.
1. Углы при основании равнобедренного треугольник равны.
2. Вертикальные углы равны.
3. Второй признак равенства треугольников.
Текст Евдема до нас не дошёл, и мы не имеем никакого представления о характере этих самых доказательств. Согласно мнению многих современных специалистов, доказательства этих фактов, содержащиеся в Началах, не могут принадлежать Фалесу. Вопрос: является ли это заявление Прокла достаточным основанием для того, чтобы считать Фалеса родоначальником дедуктивной математики? Разумеется, с точки зрения критериев истинности, принятых в исторической науке.
Первое, что я говорю студентам на этой лекции:
История математики - это такая же гуманитарная наука, как и любая другая история. Не обессудьте.