dreameranalyst (dreameranalyst) wrote,
dreameranalyst
dreameranalyst

Categories:

Декарт - математик

А теперь о математическом творчестве. Основное математическое сочинение Декарта – книга «Геометрия». Она вышла в качестве приложения к «Рассуждению о методе» и написана в первые годы жизни в Голландии, самый спокойный и продуктивный период жизни Декарта. Кроме этого есть незаконченная работа «Исчисление господина Декарта». Опубликовали её только в 19-м веке, но рукописный текст находился в библиотеке Лейбница, который его основательно изучал. С этого текста и было сделано печатное издание. Есть огромное количество писем, посвящённое решению конкретных математических проблем. Адресаты этой переписки – Мерсенн (в первую очередь), Пьер Ферма, Дезарг и другие крупнейшие математики того времени. Письма посвящены решению конкретных математических задач, как правило, геометрического содержания. Среди них геометрические методы построения касательных к циклоиде параболе и другим кривым, правила для определения площадей под этими кривыми и т.д. Эти работы очень интересны, но главный вклад Декарта в математику определяется не ими, а содержанием книги «Геометрия».
«Геометрия» состоит из трёх глав. Первая глава называется «О задачах, которые можно решить, пользуясь только кругами и прямыми линиями». Главный тезис этой главы, да и всей книги, заключается в следующем: геометрия и алгебра есть единая наука математика и никаких принципиальных различий между ними нет. Начинается глава с построения исчисления отрезков. Что это значит? Допустим, перед нами два отрезка. Очень хорошо понятно, что значит сложить два этих отрезка или вычесть из большего меньший. Эту процедуру легко совершить с помощью циркуля и линейки. Но что значит перемножить два отрезка? Корректен ли этот вопрос? Проблема заключается в следующем. Допустим, длины отрезков составляют 4 метра и 1 метр. Естественно считать их произведением отрезок длиной в 4 метра. Но переведём их длины в сантиметры: получим 400 см и 100 см. Тогда выходит, что произведением этих отрезков будет отрезок длиной в 40000 см или 400 метров. Что же такое произведение отрезков длиной 4 метра и 1 метр на самом деле? Отрезок длиной 4 метра или отрезок длиной 400 метров? Декарт понимает, что этот вопрос некорректен. Длины отрезков нужно соотносить с длиной фиксированного отрезка, который мы принимаем за единицу. И тогда всё очень просто: достаточно воспользоваться теоремой Фалеса. После того как мы ввели единицу измерения, с отрезками можно делать всё, что мы умеем делать с числами. Геометрия и алгебра сливаются. Первой задачей, на которой Декарт продемонстрировал мощь алгебраических методов, стала известная ещё с античных времён задача Паппа. Заключается она в следующем. Пусть на плоскости даны две прямые. Мы прекрасно знаем, где расположены точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от этих прямых. Независимо от того, пересекаются эти прямые или параллельны, нужные нам точки лежат на прямой. Теперь проведём четыре прямые и занумеруем их. Для каждой точки плоскости отмеряем отношения до каждой из этих прямых. Мы хотим, чтобы произведения двух из этих чисел было равно произведению двух других. Где лежат такие точки? Это и есть задача, с которой началась аналитическая геометрия. Решение её было получено ещё Аполлонием, но Декарт даёт алгебраическое решение и рассматривает её обобщения на случай нескольких прямых. Для двух прямых всегда получается коническое сечение, при большем числе прямых ситуация более сложная. Логика рассуждения Декарта нам хорошо понятна. Раз любая точка прямой есть число, точка плоскости есть пара чисел (интересно, что вторую координатную ось Декарт не рисовал). Каждая линия задаётся уравнением – алгебраическим соотношением между этими числами. Соотношение Паппа тоже задаётся некоторым уравнением. Остаётся только преобразовать одно соотношение в другое, и мы получаем ответ на вопрос задачи. Обычное рассуждение аналитической геометрии или, говоря школьным языком, метода координат. Задаче Паппа посвящена вторая глава книги.
О Декарте говорят, что он уничтожал геометрию, поскольку решал геометрические задачи алгебраически. Это не совсем так. Во-первых, Декарт был хорошим геометром и в классическом смысле этого слова. Уже упоминавшиеся задачи математического анализа (нахождение площадей и построение касательных) он решал геометрически и многого добился. Во-вторых, решение геометрических задач алгебраическими методами было только одной частью его программы. Другой частью было систематическое построение геометрических иллюстраций решения алгебраических уравнений. В первой главе книги «Геометрия» есть интересная геометрическая иллюстрация нахождения решения квадратного уравнения построением некоторой секущей. Эта мысль не имела такого научного значения, как введение координатного метода, но тоже оказывается полезной, особенно в задачах прикладного характера. Для нас интересно то, что и то, и другое проистекало из установки Декарта сделать математику ясной. До него математика делилась на две части. Первая из них – развивающаяся с античных времён геометрия с элементами геометрического анализа. Вторая – алгебра средневековья и нового времени, выросшая из экономических и естественнонаучных задач. И та, и другая неясна, «непрозрачна». Геометрия непрозрачна, потому что неметодична. В  ней отсутствуют общие методы решения задач, каждая требует особенных рассуждений и построений. Алгебра туманна тем, что в ней отсутствует наглядность, приходится опираться на сложные обозначения. Нужно исправлять и то, и другое. Интересно, что в наше время стандартная «школьная» математика реализует оба подхода. Среди школьных тем есть и применение метода координат в геометрии, и графические методы решения задач с параметрами.
Заслуги Декарта перед математикой огромны. Первая из них – создание аналитической геометрии, новой области математики, основанной на применении единого координатного метода и потому действительно более прозрачной, чем все её остальные области. Правда, на сегодняшний день мы не можем говорить об аналитической геометрии как самостоятельной области математики. Метод координат сам по себе слишком прост, чтобы дать что-либо существенное для решения современных математических проблем. Но есть алгебраическая и дифференциальная геометрия, глубокие современные математические дисциплины, которые также строятся на взаимопроникновении геометрических и алгебраических методов. Вторая заслуга – придание математическому организму внутреннего единства, преодоление противоположности между её разделами. Эта проблема очень важна для математики. Значительная часть математических работ не относится к прикладной области, и потому  не могут оцениваться утилитарной полезностью для практики или глубиной проникновения в фундаментальные законы природы. Поэтому проблема оценки уровня глубины математической работы – проблема сложная. Одна из наиболее распространённых точек зрения по этому вопросу может быть сформулирована так: ценной является та работа, которая использует методы, возникшие в разных областях математики, и приводит к результатам, важным также для различных её областей. Математика есть сложный разветвлённый организм с глубочайшими внутренними связями, и выявление этих связей есть главный критерий ценности математической работы. Сейчас математика устроена гораздо сложнее, чем во времена Декарта, и никто не пытается свести её к использованию одного метода. Но на другом, более высоком уровне поиск внутренних связей продолжается.
Ругают ли Декарта? Есть ли в мировой культуре традиция критики его научного и философского наследия? Да, безусловно, есть. Причём критика его и как математика, и как философа связана с одним и тем же соображением. Это соображение очень ярко сформулировал выдающийся русский философ Лев Шестов. Он писал о Декарте:
… могучая, непреодолимая сила… влекла его неудержимо к одной цели: во что бы то ни стало изгнать из нашей жизни тайну. Истина, говорил он, только в том, что может быть ясно и отчётливо познано…
           В общем, это очень серьёзное обвинение Декарту и как мыслителю, и как математику, и как человеку, и как математику. Человек, которому всё в жизни понятно, обречён жить бедно в духовном смысле, даже если эта ясность далась ему в результате огромных усилий. То, что остаётся в философии под натиском декартовского сомнения, сводится к нескольким тезисам, которые вполне можно счесть банальными. Наконец, какая возможна математика без интуиции? Без интеллектуального озарения, основываясь на единственном методе, можно решать только стандартные упражнения, а не серьёзные математические проблемы. Неужели Декарт этого не понимает? Думается, что всё же понимает. Проблема интуиции в философии Декарта – одна из сложнейших проблем истории философии. Об этом очень много писали и продолжают писать. Но ясно одно: роль интуиции в творческой деятельности Декарт не отрицал. Работа в рамках одного метода – удел людей средних, которых хотя бы таким путём, приходят к ясности сознания, иным способом им недоступной. Люди же творческие, которые сами эти методы разрабатывают, достигают ясности именно в акте интуиции. Приведём фразу из его работы «Правила для руководства ума».
Под интуицией я понимаю не … обманчивое суждение беспорядочного воображения, но понятие и ясного и внимательного ума, … порождаемое лишь естественным светом разума и благодаря своей простоте более достоверное, чем дедукция, хотя последняя и не может быть плохо построена человеком
           Интуиция не только существует, но и даёт как раз то более «ясное» состояние ума, чем логические рассуждения. Только интуиция есть не Божественное озарение, а результат предельной самоконцентрации «внимательного ума». В этом и есть главный тезис мировоззрения Декарта: человек может достичь такой глубокой концентрации, в которой истина открывается непосредственно, сразу. В этом состоянии человек видит истину непосредственно, как Бог. Католический философ 20-го века Жан Маритэн писал, что Декарту присущ «грех ангелизма», то есть, он верит в то, что в минуты творческого озарения человек выходит за рамки своей природы и становится подобен ангелу. А вот что пишет Лев Шестов
Кто не читал произведений Декарта, тому трудно даже вообразить себе тот необычайный пафос и подъём, ту взволнованность, которыми они преисполнены. Несмотря на видимую отвлечённость темы, это – не трактаты, а вдохновенные поэмы… Он доверял только самому себе. И при мыли, что нет никого во вселенной, кто … мог бы обмануть его, что он сам (себе-то он верил безусловно!) отныне хозяин и творец своей судьбы, душа его исполнялась экстатическим восторгом, трактаты превращались в поэмы, торжествующие ликующие победные песни… Бог не может, хоть и захотел бы, обмануть людей… тайна исчезнет из мира и люди станут как боги
Шестов не преувеличивает. Вот несколько примеров «патетических» афоризмов Декарта:
нельзя понять и усвоить мысль, сообщенную кем-то другим, так же хорошо, как если бы сам до нее дошел;
я убежден, что, если бы мне в юности преподали все истины, доказательства которых я потом нашел, если бы я познал их без всякого труда, я, может быть, не узнал бы никаких других или по крайней мере никогда не приобрел бы той привычки и способности их находить, когда я стараюсь их отыскать, какими я, думаю, обладаю теперь;
я не обольщаю себя пустой надеждой, что общество должно особенно интересоваться моими планами; я не столь низок душой, чтобы принять от кого бы то ни было милость, которую могут счесть незаслуженной
Сейчас мы подошли к очень глубоким вопросам. Что такое творческий акт: результат самопогружения или дар свыше? Делятся ли люди на способных к интуиции аристократов духа и серую массу, для которой нужно разрабатывать методы? Наконец, сведена ли геометрия к алгебре или синтетические методы, основанные на образном мышлении, ещё могут пригодиться? Все эти вопросы станут предметом полемики между Декартом и человеком, который понимал его, наверное, лучше любого из современников, но почти во всём был его противоположностью. Этот человек – Блез Паскаль. О нём мы поговорим на следующей лекции.
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments