Попробуем разобраться!

В знаменитой работе О. Шпенглера «Закат Европы» проблема осмысления математики как части культурного целого – одна из центральных. Не случайно книга начинается с главы «Мир чисел», текст которой отнюдь не является поверхностным или дилетантским. Шпенглер не только имел хорошее математическое образование, но и некоторое время преподавал математику в Мюнхенском университете. Но дело не только в том, что математика относилась к сфере его профессиональных занятий. Других фактором, обусловившим данный интерес, было обострённое внимание к 17-му столетию, одной из наиболее «математических эпох» в истории Европы.
Последний тезис не нуждается в подробных обоснованиях. Общеизвестно, что именно теории и методы, разработанные в 17-м столетии, определили пути, по которым шло развитие математики в дальнейшем. Нельзя не упомянуть и о популярности математики в культурных кругах того времени, проявлявшейся самыми разными способами от салонных теоретических бесед про азартные игры до математических образов в стихах крупнейших поэтов. Но не только в «математическом взрыве» Шпенглер видит историко-культурную уникальность этого времени. Другой процесс, выражающий его суть и значение, он формулирует так: «Около 1670 г., в ту эпоху, когда Лейбниц и Ньютон открыли дифференциальное исчисление, масляная живопись достигла границы своих возможностей. Последние великие мастера умерли: Веласкес - в 1660 г., Пуссен - 1665 г., Хальс - 1666 г., Рембрандт - 1669 г., Вермеер - 1675 г., Рейсдаль и Лоррен - в 1682 г. […] С этого периода музыка, притом именно чисто инструментальная, а не вокальная, становится фаустовским (европейским) искусством по преимуществу». Таким образом, другим смыслом эпохи по Шпенглеру оказывается перемещение музыки в центр европейской культуры вместо живописи, занимавшей это место в предшествующую эпоху.
После этого остаётся, как минимум два вопроса. Первый: как связаны между собой математика и инструментальная музыка, эти новые центры европейской культуры? И второй. В чём заключаются духовные потребности человека 17-го столетия, удовлетворению которых оптимальным образом способствуют именно эти виды человеческой деятельности? Попытаемся увидеть ответы на эти вопросы, которые даёт Шпенглер.
В главе «Мир чисел» встречается странный, на первый взгляд, параграф. Переводчик и исследователь книги Карен Свасьян даёт ей название «Мировой страх и мировая тоска». Как это связано с математикой, которой посвящён основной текст главы? В 1912 г. Осип Мандельштам написа стихотворение, которое начинается со строчек «Паденье – неизменный спутник страха, И самый страх есть чувство пустоты». Примерно в те же годы Шпенглер приходит к другому универсальному символу страха. Для него страх есть чувство не высоты, а большого пространства и человеческой затерянности в нём. «…исконное чувство боязни находит свое выражение в духовных […] символах протяженности» (здесь нельзя, конечно, не вспомнить знаменитую фразу Паскаля). На преодоление этого первичного прастраха перед мировым пространством по Шпенглеру и направлена деятельность человека во всех типах культуры. Но есть эпохи, когда этот страх обостряется. Тогда культура целенаправленно сосредотачивается на проблемах осмысления и рационального освоения пространства.
Среди математических событий столетия главным для Шпенглера было создание математического анализа в работах Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница. Не вдаваясь в математические детали, скажем, что центральным в этой теории стало понятие бесконечно малой величины, на использование которого было основано исследование непрерывности. Не прибегая к этому понятию, математик мыслит дискретно. Таким образом, с оформлением математического анализа в стройную логическую, в научном арсенале человечества появляется возможность рационального осмысления бесконечного мирового пространства. Одним из важнейших инструментов в рассуждениях Ньютона оказываются так называемые бесконечные ряды: бесконечные суммы, в которых общий член не просто является бесконечно малой величиной, но величиной имеющий «большой порядок малости», т.е. убывающей очень быстро. Такой ряд можно просуммировать: выкладывая его слагаемые последовательно на прямой, мы не уходим в бесконечность, а всё ближе подходим к некоторой конечной – образный пример «победы» над бесконечной протяжённостью. Другой научный итог столетия – ньютоновская механика, в которой пространство предстаёт «заполненным» заданными формульно силами взаимного притяжения тел, т.е. структурно оформленным, а не пустым.

Вообще, к идее подведения итогов за год в новогоднюю ночь я отношусь отрицательно. Срок в 365 дней хорошо коррелирует с движением Земли и гораздо хуже - с человеческими делами. Человеку всё равно, с какой скоростью движутся небесные тела. Но рассказать о том, что вспоминается само собой без всякого усилия, можно.
Кружковцы-десятиклассники, которых я мучаю с 6-го класса, неожиданно выросли. С ними уже можно поговорить о весьма интересных вещах. А когда преподаватель, не разобравшись до конца, обрушивается на них с обвинениями в ошибке (мнимой), они, мирно выслушав, говорят "А.С., а можно теперь я скажу?". Сильно выросли ))
За время поездок в Сириус я научился читать лекции с использованием проектора и компьютера. Большой прогресс для человека, у которого техника ломается не только от того, что попадает ему в руки, но и от того, что попадает ему на глаза...
Прочитан первый том великой книги Пруста, и вернулся, не приходивший с юности, Верлен.
Первый раз прослушанная "Мессия" Генделя и куча брамсовских вечеров в Москве, Омске и Тель-Авиве. Этот "длиннобородый господин с печальным лицом" в этом году меня просто преследовал, за что я ему очень благодарен...
Восхождение на Масличную гору и ещё одно восхождение. Монтаньола - тоже святое для меня место.
Из того, что вспоминается без усилий, кажется, всё. И это совсем немало...

Этот текст представляет примерное содержание доклада, сделанного на конференции по вопросам дополнительного образования одарённых школьников в г. Кирове. Как ни странно, доклад был воспринят, в первую очередь, как призыв к реформам в сфере математического образования. Менее всего я верю в целесообразность каких-либо радикальных реформ в области образования. И речь идёт не о призыве к реформам, а о выработке профессиональной стратегии педагога в ситуации их отсутствия.

Название доклада говорит само за себя: на какие цели ориентирована существующая в России система дополнительного математического образования? Или, говоря проще, в каком случае можно сказать «Этот молодой человек в процессе обучения в математическом кружке получил много такого, что пригодилось ему в дальнейшей учёбе и профессиональной деятельности»? Разумеется, ответ на столь глобально сформулированный вопрос никак не может претендовать на универсальность и не может быть ничем иным, как обобщением личного профессионального опыта автора. В таком качестве он, надеюсь, и представляет определённый интерес.
Уточним термины. Под дополнительным математическим образованием здесь понимаются занятия в математических кружках, ориентированные на успешные выступления в олимпиадах. Олимпиадная практика устанавливается в качестве критерия просто потому, что она даёт чётко осязаемые результаты и позволяет отличить добросовестную работу от очковтирательства. Разумеется, психологические факторы могут помешать даже хорошо подготовленным детям, но всё же приготовить в кружке призёра областного тура из способного добросовестного ребёнка, как правило, несложно.
Всё это, конечно, не означает, что победы в олимпиадах являются самоцелью дополнительного математического образования. Серьёзно относящийся к своему ученику педагог не может, не думая о дальнейшем, выставлять в качестве цели успехи ближайших двух-трёх лет. Обучение в кружке, как и всякое обучение, должно давать что-то такое, что пригодится и намного позже. Что же тогда нужно выставлять в качестве цели?
Весьма распространённый ответ звучит так: успехи в будущей научной деятельности. Хорош тот кружок, из которого выходит много будущих научных работников, авторов глубоких результатов и резонансных публикаций. С этим тезисом спорить невозможно. Да, такой кружок, безусловно, хорош, но верно ли обратное утверждение? Обязательно ли плох кружок, из которого серьёзные добросовестные ученые выходят редко? Не вижу оснований для утвердительного ответа на этот вопрос. Успехи в науке, да и сам выбор науки в качестве будущей профессиональной деятельности, зависит от очень многих социальных и психологических факторов, не сводящихся к обучаемости и математическим способностям. Точно из тех же соображений не следует считать, что единственной целью дополнительного математического образования является подготовка серьёзного специалиста IT-сферы. Да и правильно ли ещё в школе так ограничивать будущую профессиональную деятельность ученика? Дополнительное образование должно расширять возможности школьника, а не сужать его жизненный путь. Достаточно часто «матшкольник» в будущем оказывается не программистом и не профессиональным математиком, а экономистом, социологом, психологом, даже журналистом или поэтом. Хочется, чтобы и во всех этих (и многих других) случаях, школьные занятия развивающей математикой что-то дали для становления специалиста и человека.
Что же тогда остаётся, если мы отказываемся установить в качестве цели как непосредственные (олимпиадные достижения), так и долгосрочные (профессиональные успехи) результаты? Где та середина между учёбой школьника и его будущей профессиональной деятельностью, на которую следует ориентироваться педагогу дополнительного образования? Ответ непосредственно на такой вопрос очень прост: между этими этапами лежит, как правило, период получения высшего профессионального образования. Что позволяет дать чёткий ответ и на вопрос, поставленный изначально. Целью дополнительного математического образования является подготовка элитного студента, умеющего максимально эффективно использовать процесс получения ВПО для своего профессионального и общеинтеллектуального роста.
Чтобы этот тезис не выглядел тривиальным или, наоборот, абсурдным, необходимо сделать ряд оговорок. Речь идёт не только о собственно математическом, но и о любом образовании, в котором изучение математики играет существенную роль: информационные технологии, физика, финансы и т.д. (именно такое образование в большинстве случаев стремятся получать «матшкольники») Далее, имеется в виду отнюдь не штамповка отличников. Способному студенту учиться на высокие оценки не так уж трудно, но далеко не всегда этот показатель говорят о глубоком понимании предмета и, тем более, о готовности к его творческому использованию. После этих оговорок можно приступить к разъяснению высказанного тезиса.
Глубоким убеждением автора, проработавшего на математическом факультете почти 30 лет, является уверенность в его, в общем, неоправданной архаичности. Эта архаичность проявляется на всех уровнях. На организационном: господство лекционной системы, доставшейся в почти неизменном виде от немецких университетов 19-го века и мало соответствующей психологии и образу жизни современного студента. На уровне учебных планов: в них явно не хватает дискретных дисциплин, и в этом направлении делаются только самые первые шаги. На уровне учебных программ: вопросы обоснования, остро актуальные для времён Гильберта, занимают в современных курсах неоправданно большое место. Конечно, всё это не уничтожает в корне возможность подготовки глубокого специалиста, но очень часто создаёт на этом пути серьёзные трудности. Многим способным и работоспособным людям учиться откровенно скучно. И ещё не самое страшное, когда молодой человек просто отказывается получать высшее образование. В той же IT-сфере работает немало блестящих специалистов, его не имеющих. Гораздо хуже, если талантливый студент отключает свои математические способности и учится формально («сдаёт экзамены»), не развивая интеллект и не углубляя уровень понимания математики. Всё это означает не только застой, но и, как правило, деградацию.
Что же даёт традиционная «дополнительная» жизнь математического школьника для решения будущих проблем математического студента? Немало. Например, в хорошем олимпиадном кружке школьник получает серьёзные навыки комбинаторно-алгоритмического мышления, над развитием которых в университете работают недостаточно. Но это компенсаторная функция – речь идёт о получении знаний и навыков, формированию которых в вузе уделяется недостаточное внимание. Я же хочу сказать о том, как сделать более интересным и содержательным процесс освоения того, что система высшего математического образования предоставляет студенту. Точнее, какие предпосылки для этого создаёт «кружковое образование». Эти предпосылки могут оказаться очень эффективными, если руководитель кружка будет помнить о некоторых, весьма важных, на наш взгляд, принципах.
1. В процессе обучения в кружке старшеклассник должен не только изучать эффективные методы решения математических задач, но и научиться видеть красоту математической теории в её логическом развитии. Из собственной практики: во втором полугодии 11-го класса кружковая программа часто завершалась вводным, но достаточно протяжённым курсом теории p-адических чисел или коммутативной алгебры (разумеется, выбор тематики определяется вкусами и интересами преподавателя).
2. Целью кружкового занятия может (и, порой, должно) быть не только изучение теоремы, но и совместный поиск её формулировки. На эту процедуру не нужно жалеть времени, поскольку она может быть и чрезвычайно увлекательной, и полезной с точки зрения формирования математических вкусов ученика. Важен также аспект формирования «любви» к теоремам, как узловым точкам в структуре математических теорий.
3. Жёсткая тематическая организация занятия (поиск факта или принципа плюс его формулировка плюс поиск возможных применений) не является единственно возможной. Порой имеет смысл выстраивать занятие (или хотя бы его часть) так, чтобы итогом было не чёткое понимание факта, а установка на поиск некоторых смутно понимаемых аналогий и связей. У ученика в результате остаётся чувство, что часть занятия была «не про то, но про что-то похожее». А вот, в чём именно эта похожесть, и должно стать предметом дальнейших самостоятельных размышлений. Это важно ещё и потому, что заполняет сознание ученика не отпускающими «мучительными» вопросами, над разрешением которых нельзя не думать самостоятельно.
4. Несколько расширяя предыдущий пункт, могу добавить. Полезно, чтобы некоторая часть полученных знаний давалась школьнику старших классов в виде набросков, неуточнённых даже с точки зрения формулировок. Это позволяет сохранить разумное соотношение между объёмом понятого и осмысляемого в сознании ученика.
5. В рамках кружковой работы имеет смысл уделять время формированию навыков самостоятельной работы с математической литературой. При этом речь идёт не только о длительном самостоятельном чтении книги. Интересна, например, следующая модель. Один из учеников заранее знакомится с доказательством теоремы, которая будет на занятии изучаться в обычном «листочковом» или диалоговом режиме. В ходе занятия он играет роль своеобразного эксперта, услуги которого не обязательно понадобится, поскольку обсуждение может пойти совершенно иным путём. Что ж, такая ситуация может быть ещё более полезной для эксперта, поскольку позволяет ему увидеть многообразие возможностей в подходе к доказательству теоремы.

Этот список можно продолжать. Но общая направленность ясна. Одной из приоритетных целей математического кружка должно быть формирование в ученике потребности в постоянном осмыслении и развитии системы своих математических знаний. Знания могут быть изложены пассивно и формально, но это даёт дополнительные возможности для их активизации и даже углубления. Надо только научить школьника этими возможностями пользоваться.

Поймали ребята из лицея и заставили дать интервью )) Ребята были славные, так что я вдохновился. Ничего, вроде, получилось. По крайней мере, получился действительно я, а не кто-то другой ))
В: Чем Вы занимаетесь непосредственно как сотрудник университета?
О: В первую очередь, как сотрудник университета, я занимаюсь преподавательской деятельностью: лекции читаю и веду практические занятия, преимущественно связанные с алгеброй. У меня есть небольшой лекционный курс для студентов 2-ого курса, называется «История математики», я ещё его читаю. Периодически у меня бывают студенты, которые пишут дипломную работу. Ну вот, собственно, и всё, так сказать, учебная работа – учить студентов, как у любого преподавателя. Та работа, которую я веду со школьниками – это и моя университетская работа, и работа в других учреждениях, как то, где мы сидим, например (в офисе ОЦ «Перспектива» прим. авт.).
В: Нам также стало известно, что вы некогда занимались исследовательской деятельностью, но не так активно, как сейчас.
О: Да, это правильно. Действительно, я занимался научной деятельностью, я кандидат физико-математических наук, у меня в свое время выходили статьи в различных журналах, отечественных и иностранных. Сейчас я занимаюсь этим не очень активно, я бы даже сказал очень не активно, в основном в форме дипломных работ студентов. В последние годы работа со школьниками отнимает много сил и времени и, честно говоря, на исследовательскую работу времени не хватает. Мне жаль, что так получается, но сделать я ничего не могу. Все же, я считаю, что период активной исследовательской деятельности повлиял на мой стиль работы как преподавателя, и он был бы совершенно другим, если бы у меня не было опыта научной работы.
В: Вы работаете и со школьниками, и со студентами. Есть ли какие-нибудь различия?
О: Различия, конечно, есть. Во-первых, надо все-таки понимать, со школьниками мы работаем заинтересованными, потому что обычный школьник ходит в школу и больше ему ничего не надо, а те, с которыми мы сталкиваемся, хотят заниматься математикой. А студенты есть всякие. Есть заинтересованные, а есть не очень заинтересованные, поэтому с ними сложнее. Кроме того, сами занятия со студентами предполагают, что есть стандартный набор знаний, методов, алгоритмов, которые в них нужно заложить, и это, конечно, нужно делать, но это не так интересно, как работа со школьниками, потому что там над тобой не висит никогда то, что я должен алгоритм какой-то впихнуть, там задача совсем другая – повышение какой-то культуры математической, какие-то идеи интересные развивать. В работе со студентами такое тоже бывает, но у меня большую часть времени занимает обязательная работа по учебной программе. Это, по крайней мере для меня, менее интересно, чем работа со школьниками, где я, в общем-то, свободен в выборе темы, предмета, в выборе учеников. (смеётся) Кого хочу, того и учу. Поэтому мне работать со школьниками интереснее.
В: Школьники сейчас и 15 лет назад. Заметили ли вы какие-нибудь изменения?
О: Ну как вам сказать… Во-первых, 15 лет назад значительная часть школьников, с которыми мы работали, оставалась в университете, и процесс работы со школьниками переходил в процесс работы со студентами. Сейчас этого нет. Сейчас большая часть школьников, с которыми мы встречаемся на олимпиадах, наших кружках, они из Омска уезжают. Характер работы немножко поменялся. Раньше, когда работаешь, перспективу смотришь, что будет дальше, куда он пойдёт, к какому научному руководителю, все это просматривалось. Сейчас, конечно, очень трудно спрогнозировать, ведь ребята уезжают теперь. А вот сами школьники… Конечно, в жизни современного школьника большую играют гаджеты, соответственно уровень внимательности ниже, чем у тех, кто был 15 лет назад, совершенно точно. Но это тоже поправимо, и нет, я бы не сказал, что что-то радикально изменилось. В отношениях с ними произошли изменения. Как я уже говорил, 15 лет назад мы относились к школьникам, как к своим будущим студентам, теперь мы к ним так не относимся. Да, бывает, но редко, что кто-то остаётся у нас в университете, и мы им всегда рады, но это, скорее, исключения.
В: Нам хорошо известно, что Вы – опытный путешественник. Могли бы вы назвать такие места на планете, которые можно назвать обязательными для посещения?
О: Обязательными для посещения всех людей заведомо не могу, потому что на самом деле, у разных людей разные обязанности перед жизнью, перед окружающими людьми. Вообще, путешествовать человеку полезно. У меня знание иностранных языков очень скромное, но если ты путешествуешь без языкового барьера, то это очень здорово, потому что тогда ты видишь, как люди живут и пытаешься с ними общаться, что очень полезно. Вообще, полезно видеть новое, полезно узнавать, как устроены другие люди. Поэтому путешествовать в принципе очень-очень полезное дело.
Обязательные для посещения? Так я, конечно, ответить не могу. Человек решает сам. Если вы настроены на то, чтобы знакомиться с архитектурой, живописью, то, конечно, нужно поездить по Италии. Это совершенно невероятная страна, там каждая деревню устроена как-то по-своему, в каждом маленьком городке стоит огромный замок или собор, и он отличается от собора, который в соседнем городке, где тоже, может, несколько тысяч человек живёт. Поэтому, если вы имеете ввиду какие-то культурные, художественные впечатления, то мне кажется, что самая интересная страна в этом смысле – Италия.
Если вам хочется понять, как живут люди… Для меня очень важный фактор, из-за очень скромного знания английского, это возможность преодолеть языковой барьер. То есть это страна, где живёт много русскоговорящих людей, посмотреть, как они живут, как меняются. Вот я в Америке был, мне было очень интересно. Она огромная и очень разная – есть люди, которые живут по последнему слову цивилизации и у них каждый шаг проникнут высокими технологиями, а есть люди, которые живут очень традиционно. Мне приходилось видеть людей, а местами довольно многочисленные общины их, которые ходят в чепчиках, кожаных штанах, не пользуются техникой. Такие вот традиционалисты (амиши прим. авт.). Америка мне была интересна именно огромным разнообразием, тем, что это страна, где живут совсем разные люди и все находят свое место. И это действительно производит впечатление, потому что ходишь, смотришь, и всё всё время меняется, а это очень-очень здорово.
Если вы любите природу, то из тех мест, где я был, на меня большое впечатление произвёл регион центральной Европы, где Альпы (Бавария, северная Италия, Австрия). Наверное, это самая красивая природа. Может ещё на севере [Европы], но в Норвегии, я не был. В Швеции был, но очень уж большого она впечатления на меня не произвела, хоть тоже красивая и интересная.
Всё зависит от того, чего вы хотите. Есть люди, которые ездят исключительно в поисках каких-то неожиданных природных эффектов, им совершенно не интересны эти соборы, музеи, так сказать… (смеётся) Они могут быть вполне эрудированными людьми, любящими искусство, но для них важно другое. Поэтому надо чётко понять, чего вы хотите: природу, людей или искусство. Если искусство, то очень рекомендую Италию, за людьми мне интересно наблюдать было (может быть, ещё на Востоке, вот я не был никогда на Востоке, а съезжу, меня сейчас зовут в гости в Сингапур, я тогда съезжу туда) в Америке. Ну а природа, из того, что я видел, - вот, Альпы. Сейчас мы в Болгарию несколько лет ездим [программа «Математика у моря» - прим. Авт.], там летнюю школу проводили, маленькую, интересную, на море. Мне очень нравится в Болгарии, там есть всё: и искусство очень интересное, и люди в чём-то там тоже… Барьер языковой есть, конечно, но там можно объясниться по-русски. Да даже дело не в этом, что объясниться-не объясниться? Просто, когда наблюдаешь за людьми, в общем, понятно примерно, реакция их понятна, поведение понятно, в этом смысле нет барьера. И природа тоже очень красивая, море, горы – всё замечательно. Так что, если вы меня спрашиваете, чтобы определиться как путешественникам – поймите сначала, чего вам нужно, это мой главный совет, потом уж решайте (смеётся), что для вас обязательно, что – не очень.
Я как-то ускользаю от ваших ответов? Нет, всё нормально?
В: Всё идёт по плану, поверьте мне. С каким человеком любой культуры, любой эпохи вам хотелось бы пообщаться, вам было бы интересно?
О: Ох… так, это очень интересный вопрос. Человеком эпохи и культуры… понимаете … к этому вопросу надо подходить серьёзно. Потому что я сейчас могу сказать, что мне хотелось бы пообщаться, там, с древним греком, например, а как я с ним буду общаться? Языка не знаю, так сказать, как он устроен, какие у него реакции (тут повышение, довольно бурная реакция от самого Штерна) …
В: В нашей модели языковой барьер преодолён.
О: Я не могу… понимаете, что значит, языковой барьер преодолён? Откуда я знаю, что будет (смеётся), если я преодолею языковой барьер с древним греком? Интересно мне с ним будет или нет? Как я могу это сказать? Поэтому, если вы имеете в виду вот именно такую вот постановку вопроса, то я считаю, что последняя эпоха, которую мы хорошо себе представляем, самая древняя, это 19-й век. Мы его знаем по русской литературе, которую мы учим, имеем представление о истории. Люди того времени – они, как бы, нам понятны; если с ними встретиться – не обязательно даже с человеком, который жил в России и говорил на русском, а из какой-то другой страны, - это люди какие-то, нам понятные. У меня такое ощущение, что это первая эпоха, которая нам понятна. Люди, которые жили в 18-м столетии и которые Французскую революцию делали, мне абсолютно непонятны, у меня никакого желания с ними встречаться, честно говоря, нет (смеётся). А вот эпоха, с которой действительно возможен, так сказать, контакт –вот эта, поэтому я с большим удовольствием поговорил бы с людьми, которые жили в 19-м веке, тем более, что они как-то были, по моим ощущениям, какие-то более вдумчивые, менее торопливые, сам образ жизни к этому располагал, более внимательно умели смотреть на людей, больше умели замечать, поэтому это было бы очень интересно. А если вы имеете в виду, какая культура мне интереснее, если так вопрос ставить, то… Я не зря, в общем-то, Италию-то объездил, не всю, но очень тщательно. То, что я видел – это грандиозно, конечно, видно, что эти несколько столетий, которые поднималась Италия, это было время совершенно грандиозных людей, и они интересные, и очень интересно читать то, что они написали, и смотреть то, что они нарисовали, и читать о них, но это совершенно не означает, что я хочу с ними встречаться. Знаете, когда я читаю студентам лекции по истории математики, там у меня есть такая лекция: как изобретали комплексные числа – ну вы люди грамотные, что такое комплексные числа, понимаете. Комплексные числа изобрёл Джироламо Кардано, это был сверхгений, он, кроме того, оставил след в истории медицины, в истории механики – карданный вал это он придумал, ещё кое-какие у него достижения есть в математике, он всё это записал, автобиографию свою написал… Он представлял собой человека совершенно сумасшедшего по нашим представлениям. Не сумасшествие гения, это другое совсем (гении всегда, так сказать, с некоторыми странностями, за редким исключением (смеётся)). Это другое совсем, это вот такая какая-то… внутренняя установка на то, что «мне всё можно». Поэтому я совершенно не хочу с ним встречаться, хотя то, что эти люди сделали, да, мне очень интересно – и смотреть их картины, и читать их книги, безусловно. А встречаться интересно с тем, кого есть шанс понять.
Я думаю, что, когда мы вот так вот трезво смотрим на человеческую историю, то последней – вернее, первой уже понятной нам эпохой был 19-й век.
В: Для некоторых людей очень важны некоторые культурные события, какие-нибудь спектакли, которые они смотрели, книги, которые они читали. Как они отражаются на Вас?
О: Для меня культурные события тоже очень многие важны, только не спектакли – я театр вообще не люблю, кино люблю, а театр не люблю совершенно… Вот. А культурные события, конечно, для меня важны. Они важны как источник какого-то напряжения психологического, эмоционального, человеку нужен периодически опыт какого-то напряжения, переживаний, искусство нам в концентрированном виде этот опыт даёт. И это, конечно, очень важно, потому что в жизни это не всегда получается. В этом смысле важно, вот именно в этом, понимаете, а уже то, куда мы пойдём из этого состояния напряжения, это мы сами решаем, а не книжка. Есть книжки, про которые я очень люблю говорить с другими, вот такое у меня есть. В лагере мы что-то читали как-то, помнится, у нас по Сэлинджеру была беседа, Гессе мы читали, это у нас была такая практика интересная. Это всё очень существенно, это важные книги, так сказать. Вот, может быть, так я бы сказал: есть книги, о которых думаешь чаще, чем о других. Это безусловно: согласен - не согласен, изменился – не изменился, но о которых думаешь, да. Но вообще, слава Богу, что человек (смеётся) – в общем-то, инерционная штука и не позволяет даже любимой книжке себя радикально менять, а то знаете, чего было бы: одну книжку прочитал – один, другую книжку прочитал – другой стал, неприятные бы имело последствия, я думаю. Жизнь интересная, жизнь должна человека менять. Вот такие дела.

Всех, кто любит логику, здравый смысл и всяческие науки, поздравляю с годом Аристотеля! http://www.grreporter.info/en/unesco_proclaims_2016_aristotle_anniversary_year/13773
Умная мысль Сергея Сергеевича Аверинцева об Аристотеле "он отказался от противопоставления нравственных ценностей внеморальным благам жизни, рассматривая те и другие как необходимые компоненты Счастья и тщательно держась середины между гедонизмом и аскетизмом". Действительно мудро!
Планирую срочно прочитать вот это
Зелинский Ф.Ф. (ред). Педагогические воззрения Платона и Аристотеля
Видимо, действительно каждому преподавателю имеет смысл с этим текстом ознакомиться ))

Новогоднее поздравление, содержащее определение псевдосовершенного числа и горестные сожаления по поводу злобных козней монахов-минимов.

Хорошо известно, что из всех видов новогоднего поздравления наиболее адекватным (по крайней мере, для меня) является небольшая лекция. Позволю себе перейти к изложению её материала.
Мне приходилось встречаться с целым рядом попыток анализа арифметических свойств числа 2016. Однако, следующий факт, насколько мне известно, в многочисленной нумерологической литературе отмечен не был: 2016=32×(64-1). Как хорошо известно, мы имеем дело с формулой, описывающей СОВЕРШЕННЫЕ числа (неспециалисты могут найти определение в многочисленной литературе, украсив себе таким образом встречу Нового года). Точнее, имели бы, если бы число в скобках было простым. В этом случае оно называлось бы числом Мерсенна (word рекомендует мне заменить Мерсенна на Меерсона, но это было бы неправильно). Однако, число в скобках оказывается составным, а число 2016, соответственно, несовершенным. Предлагаю не поддаваться злобным козням монахов-минимов (см., например. Википедию) и, ввиду незанятости соответствующего термина, называть такие числа полусовершенными. Называть их псеводосовершенными было бы слишком грустно.
Как человек, который вводит сей термин в употребление, считаю себя вправе поздравить друзей и френдов с наступающим Новым Полусовершенным 2016-м годом и пожелать, чтобы он стал для них годом обретения полного совершенства, к которому они, как хорошо известно, уже и сейчас очень близки. Новогодние обвинения в занудстве не принимаю! С Новым Годом!

Начал читать "Теорию чисел" на 3-м курсе. Аудитория небольшая, но вполне достойная. Я, конечно, про людей, а не про помещение )) Когда мы учим школьников, понимаем, что им нужно "делать интересно", а то разбегутся. А студенту нужно делать интересно? Циничный ( и глупый) ответ: зачем? куда он денется? зачёт то надо сдавать. Прекрасно знаем, куда денется: не будет слушать, да и всё. А зачёт, что зачёт? Он ведь тоже может сказать про преподавателя "Куда он денется? Рано или поздно поставит, как миленький". И будет скорее прав, чем неправ.
Ответ с завуалированным цинизмом: это же не школьник, это студент математического факультета, которого должен заинтересовать процесс развёртывания теории, богатство идей и т.д. Ну да, к студенту рубежа прошлого и позапрошлого веков это применимо абсолютно. А к современному? Ну, может быть, к студенту какого-то абсолютно элитного университета.
Значит, делаем интересно. Как? Например, решая задачи на анализ и описание процессов. Учебных, специально придуманных процессов, анализируя которые, вживаешься в факты и понятия. В олимпиадном мире таких задач видимо-невидимо.
Сегодня изучали квадратичные вычеты. Вот задача с вьетнамской олимпиады 99-го года.
По кругу сидят р обезьянок, где р – простое число. Дрессировщик раздаёт обезьянкам р орехов по следующему правилу. Одна из обезьянок получает первый орех, второй орех получает обезьянка, сидящая через две от первой против часовой стрелки, третий – обезьянка, сидящая через четыре против часовой стрелки от обезьянки, получившей второй орех, …, k-й орех получает обезьянка, сидящая через 2(k–1) от обезьянки, получившей (k–1)-й орех и так пока орехи не кончатся. Сколько обезьянок не получат ни одного ореха?
Более тонкий вопрос: сколько существует пар обезьян, сидящих рядом, из которых каждая получит орех?
Интересно, конечно, не потому, что в задача про обезьянок, а потому, что она посвящена анализу процесса.
А эта задачка с питерской олимпиады какого-то года. Она не напрямую про квадратичные вычеты, но очень полезна для создания фона к разговору о них.
Известно, что числа р и 2р+1 – простые. В две урны положили 2р+1 шаров. Каждую секунду половина шаров из одной урны перекладывается в другую урну. Доказать, что для любого натурального k<2p+1 настанет момент, когда в одной из урн будет ровно k шаров.
Половину доски исписали примерами. Вроде, нащупали идею. Надеюсь, что дома докажут ))

Сегодня день рождения Владимира Фёдоровича Одоевского, одного из самых ярких и привлекательных людей русского 19-го века, замечательными людьми отнюдь не бедного. Его привлекательность для меня прежде всего во внутренней свободе, важнейшей, наверное, и никогда позднее не повторявшейся в такой мере особенности людей пушкинской эпохи (Одоевский был моложе Пушкина всего на пять лет). Именно эта свобода порождала замечательное равновесие между художественным и аналитическим мышлением. Известный всем "Городок в табакерке" не только замечательная детская сказка, но и прекрасная научно-популярная книжка, объясняющая детям работу довольно сложного механизма. Пожалуй, так ярко в этом жанре после него не один российский автор не работал. И ещё.
Отношение Одоевского к математике и математическому образованию - тема весьма содержательная. Судя по тексту работы http://www.etheroneph.com/retrozvuk/116-engarmonicheskij-klavesin-vf-odoevskogo.html , Одоевский читал Лейбница и Эйлера, и был, наверное, одним из наиболее математически образованных людей того времени в России. В середине 50-х годов в СССР вышли каким-то образом две его книги "Музыкально-литературное наследие" и "Избранные педагогические сочинения". Кто и как пробивал эти издания, я не знаю, но с тех пор их точно никогда не переиздавали. Я, конечно, о второй из этих книг. Занимался Одоевский, в первую очередь, не профессиональным, а низовым образованием. Он мало интересовался проблемами подготовки серьёзных профессионалов, но много думал о том, как научить каждого тому для него жизненно важному, что содержат науки. Одоевский сам участвовал в создании массовых учебных заведений. Делал он это, насколько я понимаю, не качестве чиновника, а в качестве "консультанта по педагогическим вопросам при министерстве государственных имуществ". Видимо, в те времена к мнению консультантов-интеллектуалов прислушивались! В этой книге очень много интересного и весьма актуального с точки зрения методики и организации учебного процесса. О преподавания математики говорится в работе "Руководство для начального преподавания наук". Это текст нужно читать очень внимательно и подробно, но вот несколько сразу бросающихся в глаза идей.
Как учить детей дробям? Одоевский пишет "Понять значение дробных чисел есть дело весьма трудное для дитяти. Довести его до сего познания можно лишь сделав для него операции оных как-бы осязаемыми, то есть беспрестанно соединяя понятие числа с понятием пространства". Далее становится видно, что имеется в виду: изучать действия с дробями как действия с частями, применяя для этого специальные таблицы. По-моему, это довольно эффективно и, что особенно важно, делает алгоритмы действий с дробями действительно понятными и внутренне обоснованными.
Далее - геометрия для дитяти. Доказывать в начальном курсе Одоевский ничего не предлагает вовсе. Но обязательно нужно видеть фигуры, находить их в реальном мире, уметь изображать так, что их свойства становятся ясными и очевидными, считать площади и объёмы.
Кажется, хватит. Я совершенно не готов профессионально анализировать педагогическое наследие Одоевского. Но мне, как человеку, занимающемуся развивающим обучением, хочется разобраться в его идеях получше. Если того же захочется кому-то ещё, книжку можно найти, например, на imwerden

Получил подарок от своего ученика из Сингапура: задачник по математике для школьников, как я понял, самого высокого уровня H2. Оценивать не берусь, т.к. совершенно не знаю, как это всё работает внутри тамошней системы образования. А, как известно, что немцу (тем более, китайцу :-) ) здорово... Только некоторые наблюдения.
Очень много всякого анализа: исследование графиков, вычисление площадей и объёмов, даже немножко дифференциальных уравнений. Интересный параграф на преобразования графиков, причём не только парабол и гипербол, а и самых разных. В теме "последовательности", в основном, суммирование по индукции. Кажется, нет даже доказательства неравенств. Много про комплексные числа. В том числе, вполне содержательные упражнения на геометрическую интерпретацию комплексного числа. Обязательно возьму кое-что на контрольные для студентов. Немножко аналитической геометрии вокруг уравнения прямой и плоскости в пространстве. Очень много неплохой теории вероятностей с подогнанной под это комбинаторикой. Комбинаторные задачи попадаются довольно сложные, но их немного, и непонятно, как можно так быстро до них добраться. Хотя, в целом, восхождение от простого к сложному выполнено очень аккуратно.
Никаких намёков на теорию чисел. Совсем нет задач на моделирование (текстовых). Хотя, возможно, это было на каких-то более ранних этапах. Геометрия понимается исключительно как аналитическая. Алгебраический взгляд на многочлены совсем не представлен
Субъективно: задачник скучный. Но, возможно, китайцы такими категориями и не мыслят )) Логика изложения не очень сильно отличается от, скажем, учебников Виленкина. Как я понял, эта программа жёстко подогнано под поступление в англо-американские университеты, и специфически сингапурского там мало.
Идеология обучения в математических классах вырисовывается так: подготовить к успешному освоению calculus и других базовых курсов. Мне это не очень близко. Я думаю, что обучение в математических классах есть самостоятельная часть математического развития, которая должна компенсировать недостатки университетских программ. В этом смысле, материалы израильского багрута мне намного ближе.

Зачем проводить математический лагерь за границей? Ну да, море. Так и в России моря есть. Ну да, ощущение европейского уюта. Но я не знаю, чувствуют ли это дети, а мне этот уют лучше удаётся почувствовать во время путешествия без школьников )) Общение с болгарскими школьниками - замечательная вещь, но в этот раз не вышло. Дети из математической гимназии вместе с учителем уехали на "Золотое руно" в Абхазию. И остаётся очень важное: туризм, экскурсии. Очень хочется, чтобы вместе с изучением математики дети учились бродить по развалинам, заходить в музеи, дышать атмосферой старого города. Болгария - страна для культурно-исторического туризма очень подходящая. Серьёзных картинных галерей, кажется, нет, но зато всё остальное! Но здесь другая проблема: всё, что рядом, быстро осваивается, а смена места дислокации - штука болезненная. Ещё год назад  посмотрели замечательные городки Несебр и Созополь, и хочется чего-то новенького )) В общем, придумал я такую авантюру: поездка в Пловдив. Это 330 км от нашего лагеря, более четырёх часов езды, да ещё и расходы. Из всей нашей компании поехала примерно треть детей.
( Collapse )